約分と最大公約数の関係

約分は、分子と分母を同じ数でわって、分数を小さい形にすることです。このとき使う「同じ数」を、分子と分母の両方をわり切れる数（公約数）といいます。

公約数の中でいちばん大きい数が最大公約数です。最大公約数で一回わると、それ以上約分できない形（これ以上小さくできない分数）にすぐたどり着きます。

例：2436 を約分する

• 2でわる → 1218、もう一度2でわる → 69、3でわる → 23（3回かかる）
• 最大公約数 12 で一回わる → 23（1回で終わり）

どちらも答えは同じ 23 ですが、最大公約数を使うほうが速くてミスも減ります。

最大公約数は、次のどちらかの方法で見つけられます。分子と分母が小さいときは、小さい数を思い出す方法がかんたんです。

方法1：わり切れる数を大きいほうからさがす

1. 分子と分母の両方をわり切れる数をさがす
2. 見つかった中でいちばん大きい数が最大公約数

例：1824 なら、18と24の両方をわれる数は 1・2・3・6。いちばん大きいのは 6 なので、6でわって 34。

方法2：素因数に分けて共通部分をかける

• 24 = 2 × 2 × 2 × 3
• 36 = 2 × 2 × 3 × 3
• 共通するのは 2 × 2 × 3 = 12 → これが最大公約数

数が大きくて公約数がすぐ見つからないときは、大きいほうを小さいほうでわった「あまり」を使うと便利です。あまりで次々にわっていき、あまりが 0 になったときのわる数が最大公約数です。

例：4256 の最大公約数

1. 56 ÷ 42 = 1 あまり 14
2. 42 ÷ 14 = 3 あまり 0
3. あまりが 0 になったので、最大公約数は 14

14でわって 4256 = 34。

もう一つ、4860 の場合：

1. 60 ÷ 48 = 1 あまり 12
2. 48 ÷ 12 = 4 あまり 0
3. 最大公約数は 12 → 4860 = 45

答えを書いたあと、「分子と分母を、両方わり切れる数がまだあるか？」を一度だけ確かめましょう。次の合図が出たら、まだ約分できます。

• 分子と分母がどちらも偶数（2でわれる）
• どちらも5でわれる（一の位が 0 か 5）
• どちらも3でわれる（各位の数字をたすと3の倍数）

例：1525 は両方5でわれるので 35。1624 は両方偶数なので、まだ約分できて 23 になります。

最大公約数がわかれば、どんな分数でも一回のわり算で約分が終わります。